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公务员-数资备考技巧:多集合反向构造的正反思路

2021-08-20 15:59  |  华图在线  |  责编:华图小编 点击收藏

  最值问题中,有一种特殊的构造,涉及到两个及以上的集合的最值,如:某兴趣班共有学生45人,其中喜欢音乐、舞蹈、美术的学生分别为36、34、31人,问这三项都喜欢的学生至少有多少人?

  这道湖北选调的真题中,三个集合分别为喜欢音乐的学生、喜欢舞蹈的学生、喜欢美术的学生,问都喜欢的最少是多少,这种“满足所有集合的最小值”,称之为多集合反向构造问题。

  这种问题怎么解决呢?我们以这道题为例看一下正反两种思路。

  第一种反向思路,反向——加和——做差。

  ①先分别反向求出各集合的补集:不喜欢音乐、舞蹈、美术的学生,分别有9、11、14人;

  ②如果这9、11、14人毫无重复,则此时不都喜欢的最多,有9+11+14=34(人);

  ③不都喜欢的最多,那么都喜欢的最少,有45-34=11(人)。

  这种思路的核心是“让不都喜欢的无任何重复,则不满足要求的最多”。

  第二种正向思路,集合加和——和-总数×(所需集合个数-1)。

  ①先将喜欢音乐、舞蹈、美术的学生全加和,即喜欢任意科的总人次数有36+34+31=101(人)。

  ②总数45人,假设全部喜欢两科,那喜欢的总人次数中去掉这45×2次,还余下的喜欢的人必然是喜欢三科的,有101-45×2=11(人)。

  这种思路的核心是“总人次-喜欢人次的极限值,则满足要求的最少”。

  值得注意的是,在小学奥数中,这一模型叫“容斥极值”,往往使用正向思路的时候居多,导致近几年的公考真题更多使用正向解法。下面让我们从易到难看几道真题。

  【例1】(2018广东)某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查,在接受调查的1000人中,有68%的人使用过甲软件,有87%的人使用过乙软件,有75%的人使用过丙软件,有82%的人使用过丁软件。那么,在这1000人中,使用过全部四款手机软件的至少有( )人。

  A.120

  B.250

  C.380

  D.430

  【答案】A

  【解析】第一步,本题考查最值问题,属于反向构造。

  第二步,本题使用的多集合反向构造方法是:反向——求和——做差。

  反向:没使用过甲软件有1-68%=32%;没使用过乙软件的有1-87%=13%;没使用过丙软件的有1-75%=25%,没使用过丁软件的有1-82%=18%;

  求和:未使用过甲乙丙丁四款软件的人最多有32%+13%+25%+18%=88%;

  做差:全部四款软件都使用过的最少有1-88%=12%。

  第三步,四款软件都使用过的人至少为1000×12%=120(人)。

  因此,选择A选项。

  这种纯套路的题目现在考查的越来越少,因此同学们还需要掌握正向思路。来看几道难题。

  【例2】(2018国考)书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅,但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。问本次投票的有效率最高可能为多少?

  A.65%

  B.70%

  C.75%

  D.80%

  【答案】B

  【解析】第一步,本题考查最值问题,属于多集合反向构造。

  第二步,①首先赋值观众100人,那么5幅作品得票数分别是69、63、44、58、56,共290票,即总共有290个投票人次。

  ②假设所有投票观众都投2幅作品,则总人次还多出290-100×2=90人次。

  ③剩余的90人次分到已经投了2次的票上,如果每张再分1次则无效票数90张,有效票10张;如果每张再分2次则无效票数45张,有效票55张;如果每张再分3次则无效票数30张,有效票70张。可知有效率最高是70%。

  因此,选择B选项。

  【例3】(2018陕西)观众对五位歌手的歌曲进行投票,每张选票都可以选择五首歌曲中的一首或多首,但只有选择不超过3首歌曲的选票才是有效票,五首歌曲的得票数分别为总票数的82%,73%,69%,51%和45%,那么本次投票的有效率最高可能为:

  A.95%

  B.90%

  C.85%

  D.80%

  E.75%

  F.70%

  G.65%

  H.60%

  【答案】B

  【解析】第一步,本题考查最值问题,属于多集合反向构造。

  第二步,①赋值共有100人进行投票,则一共投票82+73+69+51+45=320(票)。即总共有320个投票人次。

  ②假设所有投票观众都投3位歌手,则总人次还多出320-100×3=20人次(票)。

  ③剩余的20人次分到已经投了3次的票上,如果每张再分1次则无效票数20张,有效票80张;如果每张再分2次则无效票数10张,有效票90张。有效率最高为90%。

  因此,选择B选项。

  通过这两道类似的题目可以发现,这一类多集合反向构造问题,题目考查难度增大,一味背诵“套路”无济于事,因此要理解多集合反向构造的两种思路,尤其是接触的少的正向思路,一定要理解基础逻辑,多多练习!

  祝大家攻坚克难、金榜题名!

标签: 国家公务员    公务员    国考    
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