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公务员行测备考:余数法巧解一类多位数问题
2011-08-23 11:05  华图网校 点击: 载入中...

  2009年三省联考中出现了这样一道试题:

  【例1】由1、2、3组成的没有重复数字的所有三位数之和为多少?(   )

  A.1222            B.1232

  C.1322            D.1332

  对于本题,通常有以下三种解法:

  解1:由这三个数字组成的没有重复数字的三位数有123、132、312、321、213、231六个,简单相加可知答案为1332,因此本题应选择D。

  解2:由这样3个数字组成的三位数的个数总共有个,由于3个数字的地位是完全相同的,所以这3个数字在各个位数上出现的次数相同,也即在各个位数上出现6÷3=2次。因此在各个位数上,这6个数的加和为(1+2+3)×2=12,因此这6个数的和为12×(100+10+1)=12×111=1332。因此本题应选择D。

  解3:因为1+2+3=6为“3”的倍数,所以由1、2、3组成的没有重复数字的任意三位数也能够被3整除,因此其和也能被3整除,备选项中只有D能被3整除,因此本题应选择D。

  以上三种解法中,解1最平凡,操作起来也最繁琐,尤其当数字较多时,就很难进行下去;解2的操作具有可推广性,计算量小,技巧性也较强,但是思维过程显得有些“绕”,对于数学基础较差的学生不易掌握;解法3巧用数字特性,解题快捷简便,利于学生掌握,但是却存在一点不足,就是四个选项中两个或两个以上的备选项对于3同余的情况很容易出现,这时就不能唯一确定答案了。

  针对解2和解3中存在的缺陷,我们加以弥补,便可得到下面两种新的解法:

  解4:由解2的操作过程我们可以轻松推导出这样的结论,即由n个(不同的)非零一位数组成没有重复数字的所有n位数之和是(n个1)的倍数。所以例1中的求和结果 必 为111的倍数,经验证只有选项D满足要求,因此选择D选项。

  解4的方法利用从解2方法中得出的一个结论,巧用数字特性解题,思维简单机械,容易记忆掌握,而(n个1)与3不同,备选项中出现两个或两个以上的选项能被(n个1)整除的可能性较低,但该方法也并非尽善尽美,因为判断一个数是否为(n个1)的倍数并没有简便的方法,需要直接作除法验证。于是,我们在解3的基础上,得到下面的解法5——余9法。

  解5:因为1+2+3=6,所以由1、2、3组成的没有重复的任意三位数除以9的余数为6,而由这样3个数字组成的三位数的个数总共有个,每一个除以9余6,因此其和除以9余6×6=36,又36÷9=4,因此其和也为9的倍数,选项中只有D满足,因此选择D选项。

  解5结合了解2中的计数思想与解3中的数字特性思想,并利用计算问题中常使用的余9法,解题过程简单快捷,容易掌握,且9与3不同,备选项中出现两个或以上的选项关于9同余的可能性也很小,因此该方法可操作性也很强,个人认为,解法5是解决此类多位数问题的最佳方法!

  最后,我们用解5作答下面一道类似的题目,该题来源于模块宝典157页的例16。

  【例2】由3、4、6、7、9组成的没有重复数字的所有五位数之和为多少?(   )

  A.7733256             B.15466512

  C.23199768            D.38666280

  [答案]A

  [解析]因为,所以由这样5个数字组成的任意五位数除以9余2,而这样五个数字组成的五位数一共有个,所以其和除

以9的余数为,利用弃9法不难判断四个选项中只有A除以9余6,因此本题选A。

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