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公务员丨容斥原理
2021-11-15 17:16  华图在线 点击: 载入中...

  容斥原理是历年公务员考试中比较喜欢出的一种题型,考查频率高,题目难度适中,是广大考生在数量关系模块拿分的一种题型。容斥原理主要会涉及到两种题型,分别是两集合容斥原理和三集合容斥原理,下面我们分别来讲一下:

  两集合容斥原理:

  如果题目涉及的是这样五个量:满足条件A的数目;满足条件B的数目;同时满足条件A和B的数目;条件A、B都不满足的数目;总数。那么选用“两集合标准型”的标准公式:满足条件的个数=满足条件A的+满足条件B的-AB都满足的=总数=都不满足来作答。

  三集合容斥原理:

  如果题目涉及分别满足A、B、C的数目;同时满足AB的数目;同时满足BC的数目;同时满足AC的数目,同时满足ABC的数目;都不满足的数目;总数,那么我们可以使用三集合标准型公式:满足条件的个数=满足一个条件的-同时满足两个条件的+三个条件都满足的=总数-都不满足来作答

  如果题目涉及满足A、B、C的数目;只满足AB的数目;只满足BC的数目;只满足AC的数目,同时满足ABC的数目;都不满足的数目;总数,那么我们可以使用三集合非标准型公式:满足条件的个数=满足一个条件的-只满足两个条件的-2×三个条件都满足的=总数-都不满足来作答

  【例1】(2020河南)学校有300个学生选择参加地理兴趣小组, 生物兴趣小组或者两个小组同时参加。如果80%学生参加地理兴趣小组, 50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少?

  A. 240

  B. 150

  C. 90

  D. 60

  【答案】C

  【解析】第一步,本题考查容斥问题,属于二集合容斥类,用公式法解题。

  第二步,共两个兴趣小组,其中80%的学生参加地理兴趣小组、50%的学生参加生物兴趣小组,根据两集合容斥原理公式:满足条件1的个数+满足条件2的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数,设同时参加两个兴趣小组的学生占比为x,则有80%+50%-x=100%-0,解得x=30%,那么同时参加两个兴趣小组的共有300×30%=90(人)。

  因此,选择C选项。

  【例2】(2018陕西)有关部门对120种抽样食品进行化验分析, 结果显示, 抗氧化剂达标的有68 种, 防腐剂达标的有77 种, 漂白剂达标的有59 种, 抗氧化剂和防腐剂都达标的有54 种, 防腐剂和漂白剂都达标的有43 种, 抗氧化剂和漂白剂都达标的有35 种, 三种食品添加剂都达标的有30 种, 那么三种食品添加剂都不达标的有多少种?

  A. 14

  B. 16

  C. 18

  D. 20

  【答案】C

  【解析】第一步,本题考查容斥问题,属于三集合容斥类,用公式法解题。

  第二步,按照三集合容斥标准型公式,直接设三种食品添加剂都不达标的为x种,列出方程:68+77+59-54-43-35+30+x=120,解得x=18(可用尾数法计算)。

  因此,选择C选项。

  【例3】(2019新疆)某机关开展红色教育月活动, 三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有139 人, 有42 人报名参加第一场讲座, 51 人报名参加第二场讲座, 88 人报名参加第三场讲座, 三场讲座都报名的有12 人, 只报名参加两场讲座的有30 人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人?

  A. 12

  B. 14

  C. 24

  D. 28

  【答案】A

  【解析】第一步,本题考查容斥原理,用公式法解题。

  第二步,设没有报名参加其中任何一场讲座的有x人。根据三集合非标准型容斥原理公式,可列方程42+51+88-30-2×12=139-x,解得x=12。(或者使用尾数法解题)

  因此,选择A选项。

  容斥原理公式主要有两集合公式,三集合标准公式,三集合非标准公式三个。难度比较小,是拿分题,相信同学们肯定能够轻松应对

  祝大家攻坚克难、金榜题名!

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