对驻马店市中级人民法院已经生效的一审裁判，有权提出抗诉的是：

参考解析：

第一步，本题考查刑事诉讼法知识。
第二步，根据《刑事诉讼法》第254条第三款，最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现确有错误，有权按照审判监督程序向同级人民法院提出抗诉。
根据《民事诉讼法》第208条第一款，最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第200条规定情形之一的，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，应当提出抗诉。
根据《行政诉讼法》第93条第一款，最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第91条规定情形之一，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，应当提出抗诉。可知，不论是民事诉讼、刑事诉讼还是行政诉讼，对驻马店市中级人民法院已经生效的一审裁判，河南省人民检察院有权对河南省人民法院提出抗诉。
因此，选择A选项。