根据《刑事诉讼法》，以下案件不是人民检察院可以立案侦查的是（    ）。

参考解析：

第一步，看提问方式，本题属于选非题。
第二步，找关键信息。
考查《刑事诉讼法》。
第三步，辨析选项。
根据《刑事诉讼法》第十八条第二款，贪污贿赂犯罪，国家工作人员的渎职犯罪，国家机关工作人员利用职权实施的非法拘禁、刑讯逼供、报复陷害、非法搜查的侵犯公民人身权利的犯罪以及侵犯公民民主权利的犯罪，由人民检察院立案侦查。对于国家机关工作人员利用职权实施的其他重大的犯罪案件，需要由人民检察院直接受理的时候，经省级以上人民检察院决定，可以由人民检察院立案侦查。
A项，贪污贿赂犯罪。这类犯罪是指《刑法》第八章的国家工作人员贪污案，贿赂案，挪用救灾、抢险等款物案，挪用公款案，巨额财产来源不明案，隐瞒不报境外存款案等。A项“甲派出所对乙的非法搜查案”构成非法搜查的侵犯公民人身权利的犯罪以及侵犯公民民主权利的犯罪，不符合题意，不当选；
B、C项，国家工作人员的渎职犯罪。根据《刑法》第九章，这类犯罪包括国家工作人员玩忽职守案，泄露国家秘密案，徇私枉法案，徇私舞弊案，私放在押的犯罪嫌疑人、被告人或者罪犯案等。B项“甲公安机关私放犯罪嫌疑人案”构成渎职罪，不符合题意，不当选；C项“乙国家机关人员泄露国家秘密案”构成渎职罪，不符合题意，不当选；
D项，“丙市市长故意杀人案”不是人民检察院立案侦查的范围，符合题意。当选；
因此，选择D选项。