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(单选题)

如下图所示，ABCD是长方形，将这个长方形绕轴线BC旋转一周，得到旋转体M。如果将这个长方形沿着EF方向减掉一个部分之后，剩下的小三角形BEF，将这个三角形绕轴线BF旋转一周，得到旋转体N。已知EF∥AC且 $\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$ ，则旋转体N与旋转体M的体积之比为：

A. $\frac{81}{8}$

B. $\frac{27}{8}$

C. $\frac{8}{81}$

D. $\frac{8}{27}$

参考答案：C

参考解析：

第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。
第二步，长方形ABCD绕BC旋转一周，得到的旋转体M为圆柱体，其底面半径为AB，高为BC。根据圆柱体的体积公式 $V=\pi r^2h$ ，设AB，BC。代入公式， $V_M=\pi {(3r)}^2\times 3h=27\pi r^2h$ 。三角形BEF绕BF旋转一周，得到的旋转体N为圆锥体，其底面半径为BE，高为BF。因为EF∥AC且 $\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$ ，则有 $\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$ ，则，。根据圆锥体的体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$ ，代入数据， $V_N=\frac{1}{3}\pi {(2r)}^2\times 2h=\frac{8}{3}\pi r^2h$ 。
第三步，旋转体N与旋转体M的体积之比为 $\frac{V_N}{V_M}=\frac{\frac{8}{3}\pi r^2h}{27\pi r^2h}=\frac{8}{81}$ 。
因此，选择C选项。

知识点：几何问题数量关系数学运算公务员省考

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