(单选题)

在正四棱台 ${ABCD-{A_1B}_1C_1D}_1$ 中， ${A_1B}_1$ =2米，AB=4米，= $2\sqrt{2}$ 米。则该正四棱台的体积为：

A. $\frac{29}{6}\sqrt{3}$

B. $\frac{29}{3}\sqrt{3}$

C. $\frac{28}{3}\sqrt{6}$

D. $\frac{28}{2}\sqrt{6}$

参考答案：C

参考解析：

第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。
第二步，过作M⊥AC，垂足为M，可知M=O为四棱台的高。
因为AB=4，根据等腰直角三角形的三边关系 $1:1：\sqrt{2}$ 可知则AO=2 $\sqrt{2}$ 。同理= $\sqrt{2}$ ，则AM= $\sqrt{2}$ 。根据勾股定理可知M= $\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^2-\sqrt{2}^2}=\sqrt{6}$ 。即正四棱台的高为 $\sqrt{6}$ 。
第三步，解法一：根据四棱台的体积公式 $=\frac{1}{3}\left(S_上+S_下+\sqrt{S_上S_下}\right)$ h可得= $\frac{1}{3}（2^2+4^2+\sqrt{4\times 16}）\sqrt{6}$ = $\frac{28}{3}\sqrt{6}$ 。

解法二：将正四棱台补充成为正四棱锥，以ABCD为底面的正四棱锥的体积－以 ${{A_1B}_1C_1D}_1$ 为底面的正四棱锥的体积，由于两个四棱锥相似，则对应的边长之比等于高之比，已知边长之比为2:4=1:2，则高之比也为1:2，可知以 ${{A_1B}_1C_1D}_1$ 为底面的正四棱锥的高与四棱台的高相等。其中M=O= $\sqrt{6}$ ，则以 ${{A_1B}_1C_1D}_1$ 为底面的正四棱锥的高为 $\sqrt{6}$ ，以ABCD为底面的正四棱锥的高为 $2\sqrt{6}$ 。
则正四棱台的体积= $\frac{1}{3}\times 4^2\times 2\sqrt{6}$ － $\frac{1}{3}\times 2^2\times \sqrt{6}$ = $\frac{28}{3}\sqrt{6}$ 。
因此，选择C选项。