华图公务员考试研究中心的专家分析指出，近些年来，与等差数列求和问题相关的极值型问题已经成为国家公务员考试数量关系部分的一类热点问题。对于这类问题，各位考生在平时的复习过程中应加以重视，深刻理解和掌握以便实现在考场上的快速解题。
首先，通过一道例题来了解一下这类问题。
【例1】（2005年国家二卷）现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（ ）朵鲜花。
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】A。此类题型有个特点，即往往出现至多或至少等字眼，且每个人拥有属性的量（此题为鲜花数目）各不相同且为整数。对于此题，要使分得鲜花最多的人分得的花尽量少，那么其他人分得的鲜花数量应尽可能地多。而其他人分得的鲜花数比此人要少，且各不相同，理想的情况是这些人分得的鲜花数构成一个公差为1的等差数列，若有剩余，则多出的部分再作单独考虑。
对于总项数为奇数的整数等差数列，其平均数为中间项。由于21除以5商4余1，那么这五个数就依次为2,3,4,5,6，多余的一个应分给最大的数，即5人分得的鲜花数从小到大为2,3,4,5,7，因为若把多余的一加到其他数上，则会出现重复的数，与题意相矛盾。因此选择A选项。
【例2】（2006年国家二卷）5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重量最轻的人，最重可能重（ ）
A.80斤 B.82斤 C.84斤 D.86斤
【解析】B。此题是求体重最轻的人可能的最重体重。要使体重最轻的人体重尽可能大，那么其他人的体重应尽可能轻，且各不相同，同样的道理只能构成一个公差为1的等差数列。由于423除以5商为84余3，故这五个数应分别为82,83,84,85,86，剩余的3可以全部加到86上变成82,83,84,85,89，也可以变成82,83,84,86,88或82,83,85,86,87，其最轻的值保持不变，因此答案选B。
【例3】（2009年国家卷）100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样。那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加（ ）
A.21 B.22 C.23 D.24
【解析】A。此题稍微有些变化，变成第四多的活动最多有几人参加。要使第四多的活动人数最多，那么第5~7多的活动应参加的人数尽可能小，分别为3,2,1。而第1~3多的活动应尽可能的小，故组成一个公差为1的四项等差数列。100-3-2-1=94,由于是四项的等差数列，其平均值应为中间的相邻两项的平均数，即为一个多少点五的数。而94/4=23.5，正好符合，故这四项分别为22,23,24,25，因此选择B选项。
【例4】（2010年国家卷）某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95％。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分？（ ）
A.88 B.89 C.90 D.91
【解析】B。20人的平均分为88分，因此这20人的总分为88×20=1760。根据及格率为95%可计算出及格人数为19人，即1人不及格。现要使第十名的分数尽可能的低，那么其他人的分数应尽可能高。不及格的最高为59分，第1~9名分数最高为100~92，第10名应和第11~19名的分数组成一个公差为1的等差数列。此等差数列的和为1760-59-（100+92）×9/2=837，同理十项等差数列的平均数应为多少点五的数，而837除以10结果为83.5余2，因此这十个数分别为79,80，…，87,88，剩余的2分配给87和88两个数，故第十名最低考了89分，答案选择B。
总之，对于此类题目首先应认清其本质，根据等差数列项数的奇偶性先求出其平均值，再根据题意和余数进行分析从而实现此类题目的快速解题。
