巧分数字和

　　题目 将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图：

　　将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是____。

　　这是1997年小学数学奥林匹克决赛中的一道整除的问题。将纸带剪成三段，要剪两刀，共有28种不同的剪法，逐一去试，分别计算出结果，再去试除，这样做太繁琐，不可取。可以结合整除的有关知识，从这九个数字的数字和去考虑。

　　分析与解答 由于77=7×11，（7、11）=1，所以能被77整除的数，必能分别被7和11整除。

　　先考虑能被11整除。一个数若能被11整除，其奇位数字之和与偶位数字之和的差必能被11整除。对于这一性质，可以得到这样的推论：如果几个加数的和能被11整除，那么这几个加数所有奇位数字之和与偶位数字之和的差必能被11整除。

　　对于这条纸带上的九个数字，不管怎样剪，奇位数字和总大于偶位数字和。由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45=39+6=28+17，39-6=11×3，28-17=11，所以奇数、偶数的所有数字和分别是39和6或28和17。

　　（一）当奇位数字之和是39，偶位数字之和是6时，因为6=1+2+3=5+1=4+2，只剪两刀，使另外的6个或7个数字都在奇位上，这显然是办不到的。

　　（二）当奇位数字之和是28，偶位数字之和是17时，因为

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　　（1）如果9、8、7、3、1在奇位上，无法使相邻的三个数字4、5、6都在偶位上。

　　（2）如果9、8、6、3、2在奇位上，无法使相邻的两个数字4、5都在偶位上。

　　（3）如果9、8、6、4、1在奇位上，无法使相邻的两个

　　（4）如果9、8、5、4、2在奇位上，无法使相邻的两个数字6、7都在偶位上。

　　（5）如果9、7、6、5、1在奇位上，无法使相邻的三个数字2、3、4都在偶位上。

　　（6）如果9、7、6、4、2在奇位上，相邻的两个数字6、7都在奇位上，因此必在6、7之间剪一刀，另一刀的剪法有三种：

　　第一种剪法得到的三个数的和：12+3456+789=4257，4257÷7=608……1

　　第二种剪法得到的三个数的和：1234+56+789=2079，2079÷7=297，由此可知，剪后中间一段的数是56。

　　第三种剪法得到的三个数的和：123456+7+89=123552，123552÷7=17650……2。

　　（7）如果9、7、5、4、3在奇位上，无法使相邻的两个数字1、2都在偶位上。

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