不定方程不仅仅是省考的常见考点，更是省考中数学运算的重点，基本上每年都是必考的题目，在2012年国联中，出现3道不定方程的问题，因此，不定方程问题一定要引起广大考生的注意和重视，广大考生全面掌握不定方程的解法，在以后的考场上可以更游刃有余。

　　例1.某单位为业务技能大赛获奖职工发放奖金，一、二、三等奖每人奖金分别为800、700和500元。11名获一、二、三等奖的职工共获奖金6700元，问有多少人获得三等奖?

　　A3 B4 C5 D6

　　解析

　　假设一、二、三等奖的人数分别是x、y、z，则列方程组

　　800x+700y+500z=6700

　　简化为8x+7y+5z=67 ······①

　　x+y+z=11 ······②

　　此时，题目转化为求解不定方程，无法直接得到结果，但是可以采用消元结合排除法来解决。

　　思路一：倍数关系。消去未知数z，(①-5×②)，得到3x+2y=12，所以y只能取3的倍数。所以y=3，则推出x=2，z=6。故正确答案为D。

　　思路二：排除法。消去无关未知数y，(7×②-①)，得到2z-x=10，此时根据选项代入，z只能取大于5的数，否则x将为负值，所以只能选D选项。

　　秒杀法：

　　按照平均值的思想，如果11个人的平均奖金为600元(只考虑500元和700元的平均值)，那么总奖金应该为6600元，但是由于题目中还包含800元的获奖者，所以只有当获得500元的人超过半数，才能够使总金额达到6700元甚至更低，只能选D。

　　速解

　　本题主要考察的是对于不定方程的处理方式，通过寻找倍数关系或者结合选项利用排除法来解决。但是由于题目类似于十字交叉法和平均值问题的设题方式，也可以通过加权的方式定性思维，结合选项秒杀。

　　例2.现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中球比乙箱( )。

　　A多1个 B少1个 C多2个 D少2个

　　解析

　　第一次放入共6个球，所以第二次共放入22-6=16个球，所以列方程得：2甲+3乙+4丙=16，此时观察可知，乙的球数必须为偶数，否则方程不平衡，所以乙中是原来的2个球的箱子。代入1,3两值可知，甲=3，丙=1。所以甲中有9个球，乙中有8个球，多1个。故正确答案为A。

　　速解

　　解不定方程的常用技巧——利用奇偶性求解不定方程。

　　例3.小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包，按照数量多少的顺序分别是小王、小李、小张、小周。已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和;小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。问小王捐赠了多少个书包?

　　A9 B10 C11 D12

　　解析

　　假设小周捐赠x个，小张捐赠x+y个，则小李捐赠了2x+y个，小王捐赠了3x+2y个

　　把所有的书包相加得到，7x+4y=25，所以可知y只能取1、3、5的奇数，代入发现只有y=1合适，所以解得x=3，最终小王为11。

　　扩展

　　典型的不定方程求解，根据奇偶性求解。

　　例4.小张购买了2个苹果、3根香蕉、4个面包和5块蛋糕，共消费58元。如果四种商品的单价都是正整数且各不相同，则每块蛋糕的价格最高可能为多少元?

　　A.5 B.6 C.7 D.8

　　解析

　　从最大选项代入，若蛋糕8元一个，则2个苹果、3根香蕉、4个面包的价格为58-5×8=18元。当苹果4元一个，香蕉2元一根，面包1元一个时，刚好有2×4+3×2+4×1=18元。所以蛋糕最高是8元。

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