公安工作群众路线是公安工作实行的一切为了群众，一切依靠群众，从群众中来，到群众中去所遵循的根本途径。下列公安机关举措贯彻这一路线的有：

参考解析：

第一步，本题考查公安工作的根本原则、路线、方针、正常与公安历史沿革。
第二步，A项：提高民警的法律素质和人民群众没有直接关系。A项错误。
B项：为群众解决办事难的问题体现了一切为了群众。B项正确。
C项：动员居民上街巡逻这一做法不恰当，可以在小区内组织志愿巡逻队，但不可上街巡逻。C项错误。
D项：20世纪60年代初，浙江省诸暨市枫桥镇干部群众创造了“发动和依靠群众，坚持矛盾不上交，就地解决。实现捕人少，治安好”的“枫桥经验”。 推广“枫桥经验”，化解社会矛盾纠纷，体现了群众路线。D项正确。
因此，本题选择BD选项。