三。抽屉原理与整除问题

　　整除问题：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示。每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，…。在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉。根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等(抽屉原理)，不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。

　　例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

　　四。经典练习：

　　1. 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球?

　　解析：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。

　　2.一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?

　　解析：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。

　　3.某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。

　　解析：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2+1=9(人);因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55-9=46(人)

　　4、 证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。

　　解析：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：(1，99)，(3，97)，(5，95)，……，(49 ，51)。根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。

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