2015年公务员考试行测指导:数学运算之剩余问题
二、剩余定理的一般情况
例题4:一个自然数P同时满足除以3余1,除以4余3,除以7余4,求满足这样条件的三位数共有多少个?
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】B。
【解析】先取 其中两个条件,除以3余1,除以4余3,即P=4n+3=3a+1,等式两边同时除以3,等式左边的余数为n,等式右边的余数为1,即n=1,代入上式可知满足上述两个条件的最小的数为7,则同时满足上述两条件的数的通项公式为P=12n+7……①,再将①式所得的条件与题干中除以7余4的条件组合成新的条件。即满足题干中三个条件的数P=12n+7=7b+4,等式两边同时除以未知数较小的系数7,则左边余数为5n,等式右边的余数是4,也可认为余数是25,即5n=25,求解得n=5,代入到①式中,即同时满足题干中三个条件的最小的自然数P=67,则满足题干三个条件的数的通项公式为P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11,即符合题意的数共有11-1+1=11个数。
例题5:一个自然数P同时满足除以11余5,除以7余1,除以5余2,求满足这样条件的三位数共有多少个?
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】D。
【解析】通过观察会发现前两个条件属于差同,所以满足前两个条件的数的通项公式P=77n-6(n=0,1,2,3……),即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13,即符合题意的数共有13-2+1=12个数,因此选D。
从上面的例题中我们可以总结出以下关系:
如果一个数Q除以m余数是a,除以n余数是a,除以t余数是a,那么这个数Q可以表示为:
Q=a+(m、n、t的最小公倍数) N,N为整数,a是相同的余数。
如果一个数Q除以m余数是a-m,除以n余数是a-n,除以t余数是a-t,那么这个数Q可以表示为:
Q=a+(m、n、t的最小公倍数) N,N为整数,a是除数同余数的加和。
如果一个数Q除以m余数是m-a,除以n余数是n-a,除以t余数是t-a,那么这个数Q可以表示为:
Q=(m、n、t的最小公倍数)-a N-a,N为整数,a为相同的除数和余数的差。
不管题目怎么变化,只要记住这3个关系,在考试中的剩余问题都是可以迎刃而解的。
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